===A reta de Sorgenfrey satisfaz $T_{4}$ e é normal===
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Sejam $A, B \subset \mathbb{R}_{S}$ fechados tais que $A \cap B = \emptyset$. Agora, para cada $a \in A$ e $b \in B$, sejam $x_{a}, x_{b} \in \mathbb{R}_{S}$ tais que $[a, x_{a}[ \cap B = \emptyset$ e $[b, x_{b}[ \cap A = \emptyset$. Defina $U = \bigcup_{a \in A}[a,x_{a}[$ e $V = \bigcup_{b \in B}[b,x_{b}[$. É claro que $U$ e $V$ são abertos, $A \subset U$ e $B \subset V$. Temos também que $U \cap V = \emptyset$, pois se $y \in U \cap V$, então deveriam existir $a \in A$ e $b \in B$ tal que $y \in [a, x_{a}[ \cap [b, x_{b}[$. Note que como $A \cap B = \emptyset$, então $a \neq b$. Assim, se $a < b$, como $[a, x_{a}[\cap B = \emptyset$, temos que $b \notin [a,x_{a}[$ e portanto $b \geq x_{a}$. Logo $[a,x_{a}[ \cap [b, x_{b}[ = \emptyset$, o que é um absurdo. Se $b < a$ chegamos a um absurdo de forma análoga.