===A reta de Sorgenfrey não é localmente conexa===
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Se $\mathbb{R}_{S}$ fosse localmente conexa, então todo ponto $x \in \mathbb{R}_{S}$ admitiria $\mathcal{B}_{x}$ uma base local conexa. Seja $B \in \mathcal{B}_{x}$. Como $x \in B$ e $B$ é aberto, então existiria $\epsilon > 0$ tal que $[x, x+\epsilon[ \subset B$. Mas daí teríamos uma contradição com a hipótese de $B$ ser conexo, pois $[x, x+ \epsilon[$ é aberto e fechado em $B$.