===A reta de Sorgenfrey não é localmente compacta===
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Primeiro vamos mostrar que $[a,b[$ não é compacto, $\forall a,b \in \mathbb{R}$. De fato, considere a sequência $x_{n} = b - \frac{1}{n}$, $n \in \mathbb{N}_{>0}$. Assim existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que, $\forall n \geq n_{0}$, temos que $x_{n} \in [a,b[$. Considere a coleção $\mathcal{C} = \{[x_{n}, x_{n + 1}[ : n \geq n_{0}\} \cup \{[a, x_{n_{0}}[\}$. Observe que $\mathcal{C}$ é cobertura aberta para $[a,b[$, pois dado $x \in [a,b[$, se $x \notin [a, x_{n_{0}}[$, então $x_{n_{0}} \leq x < b$, logo existe $n \geq n_{0}$ tal que $x \in [x_{n}, x_{n+1}[$. É claro que cada elemento de $\mathcal{C}$ é aberto. Como os elementos de $\mathcal{C}$ são dois-a-dois disjuntos, então qualquer subcoleção finita de $\mathcal{C}$ não pode ser cobertura de $[a,b[$.

Agora suponha que $\mathbb{R}_{S}$ é localmente compacto. Assim, para todo $x \in \mathbb{R}$, deve existir $\mathcal{V}$ um sistema fundamental de vizinhanças compactas em $x$. Seja $K \in \mathcal{V}$ vizinhança compacta de $x$. Temos então que existe um aberto $[a,b[, a,b \in \mathbb{R}$ tal que $x \in [a,b[ \subset K$. Como $[a,b[$ é fechado em $\mathbb{R}_{S}$, então é fechado em $K$, pois $[a,b[ = [a,b[ \cap K$. Daí $[a,b[$ seria compacto, que é um absurdo.