===A reta de Sorgenfrey não é contrátil===
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De fato, se $\mathbb{R}_{S}$ fosse contrátil, então existiria $H:X \times [0,1] \to X$ contínua tal que $H(x,0) = Id_{x} = x$ e $H(x,1) = c$, para algum $c \in X$, ou seja, $Id_{x} \simeq c$. Daí poderíamos definir, para todo $x \in X$, $\alpha_{x} : [0,1] \to X$ por $\alpha_{x}(t) = H(x,t)$. Pela continuidade de $H$ temos que $\alpha_{x}$ seria contínua e, além disso, $\alpha_{x}(0) = x$ e $\alpha_{x}(1) = c$. Portanto $X$ seria conexo por caminhos, o que é um absurdo.