Queremos provar que a topologia $X$ satisfaz a condição de $T_{2}$ (Hausdoff).

Então por definição tomamos dois pontos da reta distintos $x,y \in \mathbb{R}$, é verdade que $∃$ uma distância positiva $d(x,y)>0$ tal que $\varepsilon : d(x,y)= \varepsilon >0 \in \mathbb{R}$. 

Tomamos dois abertos $A,B$ tal que:

  - $ A = U_{x} - M$ : $U_{x} = ] x - \frac{\varepsilon}{4}, \frac{\varepsilon}{4} + x [$, onde $M = \varnothing ⊂ A_{n}$;
  - $ B = U_{y} - N$ : $U_{y} = ] y - \frac{\varepsilon}{3}, \frac{\varepsilon}{3} + y [$, onde $N = \varnothing ⊂ A_{n}$.

Portanto, se tomarmos $A ∩ B = U_{x} ∩ U_{y} = \varnothing$, isto implica que a topologia X é $T_{2}$(Hausdorff), como queríamos mostrar.