=== É separável ===

//Demonstração.// Vamos construir uma família enumerável e densa de funções contínuas reais definidas em $[0,1]$. 

Considere $\{y_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ uma enumeração dos racionais. Tome $n-$uplas $(y_{i_1},...,y_{i_n})=B,$ com $i_k\in \mathbb{N}$, para todo $k=1,...,n$. Seja $\{U_{j}\}_{j\in \mathbb{N}}$ uma enumeração dos intervalos abertos de $[0,1]$ (com a topologia induzida de $\mathbb{R}$) com extremidades nos racionais. Seja $\mathcal{A}=\{U_{j_1},...,U_{j_n}\}$ uma subcoleção finita de $\{U_{j}\}_{j\in \mathbb{N}}$ de intervalos disjuntos dois a dois. Defina a função:

$$f_{\mathcal{A},B}: [0,1]\rightarrow\mathbb{R},$$
de maneira que seja contínua (podemos fazer isso desde que $\mathcal{A}$ é finito) e tal que

$$f_{\mathcal{A},B}(U_{j_k})=y_{i_k},~\text{para todo}~k=1,...,n.$$
De maneira análoga a feita anteriormente (veja: [[topologia:separabi1.0| Quando o produto de separáveis é separável?]]), o conjunto $\mathcal{C}$ formado por todas essas funções $f_{\mathcal{A},B}$ (com $n$ variando) é enumerável, desde que o conjunto formados por todos os $\mathcal{A}'$s, e o conjunto formado por todos os $B'$s são enumeráveis. Além disso $\mathcal{C}$ é denso em $\mathbb{R}^{[0,1]}$, mas todas essas funções são contínuas por definição, segue que $\mathcal{C}$ é um conjunto enumerável e denso em $C_{p}([0,1])$. $~~~~~~~~\square$