=== Satisfaz $T_{3\frac12}$, logo é completamente regular === 

//Demonstração.// Sabemos que o produto de $T_{3\frac12}$ é $T_{3\frac12},$ logo $\mathbb{R}^{[0,1]}$ é $T_{3\frac12}$ e segue que $C_{p}([0,1])$ também é $T_{3\frac12}.$ Como satisfaz $T_1$, então $C_{p}([0,1])$ é completamente regular. $~~~~~~~~\square$