===== Um espaço regular mas não completamente regular =====

Se um espaço topológico é [[topologia:espacocompletregular|completamente regular]] (\(T_{3\frac{1}{2}}\) e \(T_1\)), então ele também é [[topologia:espacoregular|regular]] (\(T_3\) e \(T_1\)) (veja [[topologia:completregehreg|Todo espaço completamente regular é regular.]]). A recíproca não vale, e aqui vamos construir um exemplo de um espaço regular, mas não completamente regular. Esse exemplo foi retirado de [1].
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=== Definições ===

Sejam \(S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\le y\le 2\}\), e \(p\in \mathbb{R}^2 \setminus S\). O conjunto a ser utilizado na construção será \(X=S\bigcup \{p\}\).


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{{ :topologia:exemplo:s_e_p.png?500 |}}

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Para cada \(x\in \mathbb{R}\), \(n\in \mathbb{N}\), considere os conjuntos:

\(D_x=\{(t,t-x)\in S: x\le t \le x+2\}\)


\(V_x=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x,y)\in S\}\)


\(A_x=D_x\bigcup V_x\)


\(U_n=\{(x,y)\in S: x\ge n\}\)


\(I_n=[n,n+1] \times \{0\}\)
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{{ :topologia:exemplo:cole.png?500 |}}

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Considere sobre \(X\) a topologia \(\tau\) gerada pelos conjuntos da forma:

   - \(\{(x,y)\}\), onde \((x,y)\in S\) e \(y>0\);
  - \(A_x\setminus F\), onde \(F\) é um conjunto finito;
  - \(\{p\} \bigcup U_n\).

É fácil ver que a coleção acima é uma base para a topologia \(\tau\) — basta verificar que essa coleção satisfaz as hipóteses do exercício 1.1.83 (**LINKAR**). Vamos chamar essa coleção de \(\mathcal{B}\).


\(\\\)
\(\\\)

=== Bases e axiomas de enumerabilidade ===
  * [[regncompbases|Bases locais do espaço topológico]]
  * [[regncompbasesloc|Alguns pontos não têm base local enumerável]]
  * [[ntembase|Não tem base enumerável]]
  * [[nseparr|Não é separável]] 


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=== Axiomas de separação ===
  * Satisfaz $T_{0}$. (Kolmogorov)
  * Satisfaz $T_{1}$. (Fréchet)
  * [[compnregT2|Satisfaz $T_{2}$.]] (Hausdorff)
  * [[compnregT3|Satisfaz $T_{3}$ e é regular.]]
  * [[compregnT312|Não satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$, logo não é completamente regular.]] 
  * [[compregnT4|Não satisfaz $T_{4}$ e não é normal.]]

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=== Propriedades de cobertura ===
  * Não é compacto (ver [[topologia:dem:demo3|Todo compacto de Hausdorff é normal]]).
  * Não é localmente compacto (ver [[topologia:localmentecompacto|Compacidade local]], onde se mostra que localmente compacto e Hausdorff implicam completamente regular).
  * Não é de Lindelöf (ver referência [2], teorema 2.1.56, onde se mostra que Lindelöf e regular implicam normal).
  * Não é paracompacto (ver [[topologia:paracomp|Paracompactos]], onde se mostra que todo paracompacto de Hausdorff é normal).
 
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=== Propriedades de conexidade ===
  * [[Nconxd|Não é conexo]] 
  * [[nlocsad|Não é localmente conexo]] 
  * Não é conexo por caminhos porque não é conexo.
  * [[nloccon|Não é localmente conexo por caminhos]]
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=== Outras propriedades ===
  * [[Szerodim0|O conjunto \(S\subset X\) é zero-dimensional, logo completamente regular]]
  * Não é contrátil (pois contrátil implica conexo por caminhos).
  * Não é metrizável porque não é $T_4$ (ver [[topologia:metricoehnormal|Todo espaço métrico é normal]]).
  * Não é completamente metrizável porque não é $T_4$.
  * [[ebairequetop|É espaço de Baire]]
  * [[compnregzerodim|Não é zero-dimensional]]
  * [[neccccc|Não é ccc]] 

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=== Artigo original ===

[1] A. MYSIOR. A regular space which is not completely regular. Proceedings of the American Mathematical Society; Volume 81, Number 4, April 1981.

[2] Leonardo Henrique Caldeira Pires Ferrari, Aspectos da Topologia e da Teoria dos Pontos Fixos. Dissertação de mestrado; Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - Junho de 2017.