===== Alguns pontos não têm base local enumerável =====

Como $(X,\tau)$ é $T_1$, se $x\in X$ tem uma base local enumerável $\{B_n:n\in \mathbb{N}\}$, vale que $\{x\}=\underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}B_n$. De fato, claro que $x\in \underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}B_n$, e se $y\neq x$, temos que $X\setminus \{y\}$ é aberto, logo existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $x\in B_{n_0}\subset X\setminus \{y\}$, donde $y\notin \underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}B_n$ e segue a igualdade. Nesse caso, $\{x\}$ é um $G_\delta$, interseção enumerável de abertos.

Considere o ponto $(x,0)\in X$ para algum $x\in \mathbb{R}$. Mostraremos que $\{(x,0)\}$ não é $G_\delta$ logo $(x,0)$ não tem uma base local enumerável. De fato, se $\{(x,0)\}=\underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}A_n$ com $A_n$ aberto, sabemos que, para cada $n\in \mathbb{N}$, $A_n\supset A_x\setminus F_n$ com $F_n$ finito e $x\notin F_n$. Então $\underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}A_n \supset \underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}A_x\cap F_n^c=A_x \cap \underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}F_n^c=A_x \cap \left ( \underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcup}F_n \right ) ^c$, donde $\underset{n\in \mathbb{N}}{\bigcap}A_n$ contém uma quantidade não-enumerável de elementos, uma contradição. Isso completa a prova.