===$\mathbb{Q}_{S}$ não é localmente conexa===
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Seja $x \in \mathbb{Q}$ e $V \subset \mathbb{Q}$ é vizinhança de $x$. Seja $A \subset \mathbb{Q}$ aberto tal que $x \in A \subset V$, então deve existir $\epsilon > 0$ tal que $\mathbb{Q} \cap [x, x+\frac{\epsilon}{2}[ \varsubsetneq A \subset V$. Como $\mathbb{Q} \cap [x, x + \frac{\epsilon}{2}[$ é aberto fechado em $\mathbb{Q}_{S}$, então $V$ não pode ser conexo.