=== O quadrado da reta de Sorgenfrey é completamente regular ===

\\ Sejam $(x_0,y_0) \in \mathbb R_S\times\mathbb R_S$ e $F \subset \mathbb R_S\times\mathbb R_S$ fechado tal que $(x_0,y_0) \notin F$. Como [[topologia:exemplo:quadradosorgenfreyt1|o quadrado da reta de Sorgenfrey é $T_1$]], devemos mostrar que existe $f: \mathbb R_S\times\mathbb R_S \to [0,1]$ contínua tal que $f(x_0,y_0) = 0$ e $f[F] = \{1\}$. 

Considere $A_1 \times A_2$ um aberto básico (isto é, $A_i=[a_i,a_i+r_i[$, para algum $a_i\in \mathbb R$ e $r_i>0$, $i=1,2$) tal que $(x_0,y_0) \in A_1 \times A_2$ e $F \cap A_1 \times A_2 = \emptyset$. Como [[topologia:exemplo:sorgenfreycompregular|a reta de Sorgenfrey é completamente regular]], existem $f_1,f_2: \mathbb R_S \to [0,1]$ contínuas tais que $f_1(x_0) = f_2(y_0) = 0$ e $f_1[\mathbb R_S \setminus A_1] = f_2[\mathbb R_S \setminus A_2] = \{1\}$. Tome $f(x,y) = \max\{f_1(x),f_2(y)\}$. Note que, de fato,
   * [[topologia:exemplo:maxf_1f_2continua|$f$ é contínua]];
   * $f(x_0,y_0) = \max\{f_1(x_0),f_2(y_0)\} = 0$;
   * $f[F] = \{1\}$, pois se $(x_1,y_1) \in F$, então $x_1 \in \mathbb R_S \setminus A_1 \vee y_1 \in \mathbb R_S \setminus A_2$, o que implica que $f(x_1,y_1) = \max\{f_1(x_1),f_2(y_1)\} = 1$.