=== O quadrado da reta de Sorgenfrey não possui base enumerável ===

\\ Suponha, por absurdo, que existe uma [[topologia:basesenumeraveis|base enumerável]] $\mathcal{B}$ do plano de Sorgenfrey. Para cada $x \in \mathbb{R}$, seja $B_x \in \mathcal{B}$ tal que $(x,x) \in B_x \subset [x,x+1[ \times [x,x+1[$. Perceba que, se $x \neq y$, então $B_x \neq B_y$, pois, supondo sem perda de generalidade que $x<y$, note que $(x,x) \notin B_y$, já que $B_y \subset [y,y+1[ \times [y,y+1[$. Desta forma, perceba que a função $f: \mathbb{R} \to \mathcal{B}$ definida por $f(x) = B_x$ é injetiva e, portanto, $|\mathcal{B}| \geq |\mathbb{R}|$, o que é um absurdo, já que $\mathbb{R}$ não é enumerável.