===== Plano de Niemytski =====

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**Definição:** Considere $P=\{(x,y): x, y \in \mathbb{R}, y \geq 0\}$ com a topologia de forma que: 

\\ **(a)** Se $(x,y)$ é tal que $y>0$, então uma vizinhança básica de $(x,y)$ é da forma de uma bola aberta 

centrada em $(x,y)$ que não intercepta o eixo $x$, isto é, $B_{\varepsilon}((x,y))$ com $0< \varepsilon<y$ é a bola com a métrica usual do $\mathbb{R}^2$.

\\ **(b)** Para os pontos da forma $(x,0)$, uma vizinhança de tal ponto é da forma de uma bola aberta contida em $\{(a,b):b>0\}$ e que 

tangencie o eixo $x$ no ponto $(x,0)$ (inclua o ponto em tal vizinhança). Ou seja, $B_y((x,y)) \cup \{(x,0)\}$ onde $B_y((x,y))$ é com a métrica usual do $\mathbb{R}^2$.


\\
=== Axiomas de separação ===
  * [[NiemytskiT0|Satisfaz $T_{0}$.]] (Kolmogorov)
  * [[NiemytskiT1|Satisfaz $T_{1}$.]] (Fréchet)
  * [[NiemytskiT2|Satisfaz $T_{2}$.]] (Hausdorff)
  * [[NiemytskiRegular|Satisfaz $T_{3}$ e é regular.]]
  * [[NiemytskiCompRegular|Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular.]] (Tychonoff)
  * [[NiemytskiNormal|Não satisfaz $T_{4}$ e é não normal. Demonstração pela definição]]
  * [[NiemytskiNormaldem2|Não satisfaz $T_{4}$ e é não normal. Demonstração por Tietze]]

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=== Axiomas de enumerabilidade ===
  * [[NiemytskiBaseLocalEnum|Admite base local enumerável.]]
  * [[NiemytskiBaseEnum|Não admite base enumerável.]]
  * [[NiemytskiSeparavel|É separável.]]

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=== Propriedades de cobertura ===
  * [[NiemytskiCompacto|Não é compacto.]]
  * [[NiemytskiLocCompacto|Não é localmente compacto.]]
  * [[Niemytskiparacompacto|Não é paracompacto.]]
  * [[NiemytskiLindelof|Não é de Lindelöf.]]
   
\\
=== Propriedades de conexidade ===
  * [[NiemytskiConexo|É conexo.]]
  * [[NiemytskiLocConexo|É localmente conexo.]]
  * [[NiemytskiConexoCaminhos|É conexo por caminhos.]]
  * [[NiemytskiLocConexCaminhos|É localmente conexo por caminhos.]]

\\ 
=== Outras propriedades ===
  * [[NiemytskiSubespaçoDiscreto|Possui um subespaço discreto fechado de cardinalidade contínuo.]]
  * [[Niemytskitopinduzida|A topologia induzida.]]
  * [[NiemytskiMetrizavel|Não é metrizável.]]
  * [[NiemytskiCompMetrizavel|Não é completamente metrizável.]]
  * [[NiemytskiContratil|É espaço contrátil.]]
  * [[NiemytskiBaire|É espaço de Baire.]]
  * [[NiemytskiZeroDimensional|É zero-dimensional.]]