===== Comportamento estranho da homotopia no espaço do pente com a origem =====

Vamos dar um exemplo de um espaço contrátil para um ponto $x_0$ mas tal que a identidade não é homotópica relativamente a $\{x_0\}$. Mais precisamente, chame de $(X,\tau)$ o espaço do pente com a origem incluída e com os dentes de comprimento $1$, ou seja, $X=\{ (\frac{1}{n}, y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ 0\leq y\leq 1, n \in \mathbb{N} \} \cup \{(x,0) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ x>0 \} \cup \{(0,y) \in \mathbb{R}^2 ~\vert~ 0\leq y\leq 1 \}$ com a topologia herdada de $\mathbb{R}^2$. Então mostraremos que nesse espaço a identidade é homotópica à função constante ($x_0=(0,1)$) mas que para qualquer homotopia $H:X\times [0,1] \rightarrow X$, tal que $H(\cdot,0)=Id_X$ e $H(\cdot,1)=x_0$, temos que para algum $t_0\in [0,1]$, a homotopia "desvia" o ponto $x_0$, ou seja $H(x_0,t_0)\neq x_0$.

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=== Continuidade da homotopia ===

De fato, o espaço do pente com a origem é contrátil (ver [[topologia:exemplo:pentecomzero|Espaço do pente com a origem]]), então $Id_X\simeq x_0$. Seja $H:X\times [0,1] \rightarrow X$ uma homotopia tal que $H(\cdot,0)=Id_X$ e $H(\cdot,1)=x_0$.

Considere agora $V=( [0,1]\times (\frac{1}{2},1] ) \bigcap X$. A topologia de $X\times [0,1]$ é igual à topologia induzida pela métrica do máximo $d:X\times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, dada por $d((x,t),(x',t'))=max(d(x,x');d(t,t'))$ (ver **LINKAR**).Vamos usar a continuidade de $H$ no ponto $(x_0, 1)$ e o fato que $H(x_0,1)=x_0$. Escolha $\epsilon=1/2$, e defina $B:=B_{\epsilon}(x_0)\cap X \subset V$, e existe $\delta>0$, que pode ser escolhido de forma que $\delta <\frac{1}{2}$ tal que $H(x,t)\in B\subset V$ sempre que $d(x,x_0)<\delta$ e $d(t,1)<\delta$. Defina então $A=B_{\delta}(x_0) \cap X$. Então $A\subset V$ e $H(A\times (1-\delta,1] )\subset B \subset V$.

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=== Pontos escapando ===

Agora vamos mostrar que para cada $n\in \mathbb{N}^*$ tal que $x_n:=( \frac{1}{n}, 1 ) \in A$, existe $t_n\in [0,1-\delta]$ tal que $H(x_n,t_n)\notin V$. Isso é fácil de ver mas chato de mostrar. Intuitivamente, note que se $t>1-\delta$, então $H(x_n,t)\in V$, então se não existir um $t_n \in [0,1-\delta]$ tal que $H(x_n,t_n)\notin V$, teríamos $H(x_n,t)\in V$ para todo $t\in [0,1]$, e isso é impossível porque no limite $H(x_n,1)=x_0$, mas a curva contínua $H(x_n, \cdot):[0,1]\rightarrow X$ não consegue se aproximar de $x_0$ se estiver toda contida em $V$, porque não poderia passar pela base do pente para chegar ao eixo $y$, ficando presa em uma das pontas do pente. A demonstração objetiva está [[topologia:exemplo:homopente1|aqui]]. 

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Como $[0,1-\delta]$ é compacto e métrico, logo sequencialmente compacto, existe uma subsequência $\{t_{n_k}\}_k$ convergente a um ponto $t_0\in [0,1-\delta]$. Note que $(x_{n_k},t_{n_k})\rightarrow (x_0,t_0)$, logo $H(x_0,t_0)=\underset{k}{\text{lim}}H(x_{n_k},t_{n_k})$, e como $H(x_{n_k},t_{n_k}) \notin V$ para todo $k\in \mathbb{N}$, temos que $H(x_0,t_0) \in \overline{X\setminus V}$, portanto, $H(x_0,t_0)\neq x_0$.