==== Satisfaz $T_{2}$ ====
Seja $p_1,p_2 \in P $, e tome $\epsilon = \frac{d(p_1,p_2)}{2}$, note que $B_{\epsilon}(p_1) \cap B_{\epsilon}(p_2) = \emptyset $, logo as bolas são abertos disjuntos de $R^2$ com a topologia usual (induzida pela métrica), logo tomando $p_1 \in V = B_{\epsilon}(p_1) \cap P$ e $ p_2 \in U = B_{\epsilon}(p_2) \cap P$, temos que, $V,U \in \tau$, pois estamos trabalhando com a topologia de subespaço, e $V \cap U = \emptyset $, logo provamos que $(P, \tau)$ é um espaço de Hausdorff.