==== É conexo por caminhos ====
Sejam $p_1,p_2 \in P = A \cup B $, dividiremos em casos para mostrar que sempre há um caminho entre os pontos, a ideia é usar as retas nas quais os pontos pertence e também a reta $\{(x,0): x \in \mathbb{R} \}$ como auxiliar, o fato de $(0,0) \in P$ será crucial nas construções:

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=== $p_1 \in A$ e $p_2 \in B$ (vice-versa) ===
** Caso 1:** $p_1 \in \{(x,0): x\in \mathbb{R}\} \subset A$ e $p_2 \in B$ \\
Temos que $p_1 = (x_1,0)$ e $p_2 = (0,y_2)$ para algum $x_1,y_2 \in \mathbb{R}$, tome $f:[0,1] \to P$, definido por
\begin{equation}
f(t) = \left\lbrace
\begin{array}{ll}
((1-2t)x_1,0) \ se \ 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\
(0,(2t -1)y_2) \ se \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Podemos ver que $f(0) = p_1$ e que $f(1) = p_2$, e $f$ é continua, note que não há dualidade no ponto $\frac{1}{2}$, confirmando assim que $f$ é contínua em todo ponto, temos assim um caminho entre $p_1$ e $p_2$. De modo análogo podemos construir uma função para o caso $p_1 \in B$ e $p_2 \in \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}$.

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** Caso 2:**  $p_1  \in \{(\frac{1}{n+1},y): n \in \mathbb{N},y\in \mathbb{R}\} \subset A$ e $p_2 \in B$
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Tome $p_1 = \left(\frac{1}{n_1 + 1},y_1\right) \in A$ e $p_2=(0,y_2) \in B$, podemos construir o seguinte caminho, $f:[0,1] \to P$:
\begin{equation}
f(t) = \left\lbrace
\begin{array}{lll}
(0,4\left(\frac{1}{4}-t\right)y_2) \ se \ 0 \leq t \leq \frac{1}{4}\\
\left((4t -1)\left(\frac{1}{n_1+1}\right),0\right)\ se \ \frac{1}{4} \leq t \leq \frac{1}{2}\\
\left(\left(\frac{1}{n_1 + 1}\right),(2t -1)y_1\right) \ se \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Note que $f$ é contínua pois não há descontinuidades nos pontos extremos das desigualdades, e ainda $f(0)= p_2$ e $f(1) = p_1$, logo $f$ é um caminho que liga $p_1$ e $p_2$. Note que também provamos o caso em que $p_1 \in B$ e $p_2 = \left(\frac{1}{n_2 + 1},y_2\right)$.

=== $p_1,p_2 \in A$ ===
** Caso 1:** $p_1 \in \{(x,0): x \in \mathbb{R}\} \subset A$ e $p_2 \in \{\left(\frac{1}{n+1},y\right): n \in \mathbb{N},y\in \mathbb{R}\} \subset A$ \\
Temos que $p_1 = (x_1,0) \in A$ e $p_2 = (\frac{1}{n_2+1},y_2) \in A$, onde $x_1,y_2 \in \mathbb{R}$ e $n_2 \in \mathbb{N}$, tomemos o seguinte caminho $f: [0,1] \to P$
\begin{equation}
f(t) = \left\lbrace
\begin{array}{ll}
\left(2t\left(\frac{1}{n_2 + 1}\right)+(1-2t)x_1,0\right) \ se \ 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\
\left(\frac{1}{n_2 + 1},(2t -1)y_2\right) \ se \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Note que $f(0)= p_1$ e $f(1)= p_2$, e ainda $f$ é contínua e todo ponto, assim temos um caminho entre os pontos. De forma análoga construímos o caminho para o caso $p_1 = \left(\frac{1}{n_1 + 1},y_1\right)$ e $p_2 = (x_2,0)$.

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** Caso 2:** $p_1,p_2 \in \left\{\left(\frac{1}{n+1},y\right): n \in \mathbb{N},y\in \mathbb{R}\right\} \subset A$ \\
Tome $p_1 = \left(\frac{1}{n_1+1},y_1\right)$ e $p_2 = \left(\frac{1}{n_2+1},y_2\right)$, e seja $f: [0,1] \to P$ dada por:
\begin{equation}
f(t) = \left\lbrace
\begin{array}{lll}
\left(\frac{1}{n_1+1},4\left(\frac{1}{4}-t\right)y_1\right) \ se \ 0 \leq t \leq \frac{1}{4}\\
\left((2-4t)\left(\frac{1}{n_1+1}\right)+(4t -1)\left(\frac{1}{n_2+1}\right),0\right) \ se \ \frac{1}{4} \leq t \leq \frac{1}{2}\\
\left(\frac{1}{n_2 + 1},(2t - 1)y_2\right) \ se \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
$f$ é um caminho tal que $f(0)= p_1$ e $f(1) = p_2$.
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=== $p_1,p_2 \in B$===
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Como $p_1 = (0,y_1)$ e $p_2 = (0,y_2)$, basta tomar $f(t) = (0,ty_1 + (1 - t)y_2) \in B$ para todo $t \in [0,1]$

Note que fizemos todos os casos possíveis, com isso concluímos que o espaço pente com o zero é conexo por caminhos.