==== Não é compacto ====

Suponha por absurdo que $P$ seja compacto, logo existe $r>0 \in \mathbb{R}$ e $(x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2$ tal que $P \subset B((x_1,y_1))$, tome $x,y \in \mathbb{R}$ tal que $\sqrt{x^2 + y^2} \geq r$, note que $p_1 = (x,0),p_2 = (0,y) \in P$ e ainda $d(p_1,p_2) \geq r$ o que é um absurdo, logo $P$ não é compacto.