====== $\omega_1$ ======

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=== Princípio da ótima ordem ===
Todo conjunto $X$ admite uma boa ordem $\preceq$ tal que, para todo $x\in X$,

$$|\{y\in X: y\prec x\}|<|X|$$

Chamamos uma tal ordem de **ótima ordem** sobre $X$.
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  * Chamamos de $\aleph_1$ o menor tamanho possível para um conjunto não enumerável.
  * Chamamos de $\omega_1$ um conjunto de tamanho $\aleph_1$ munido de uma ótima ordem $\preceq$.
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Observe que, dessa forma, temos, para todo $x\in \omega_1$, $|\{y\in\omega_1: y\prec x\}|<|\omega_1| = \aleph_1$, isto é, $\{y\in\omega_1: y\prec x\}$ é finito ou enumerável.
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=== Proposição ===
$\omega_1$ não possui elemento máximo.

**Demonstração.** Suponha por absurdo que exista $x\in\omega_1$ elemento máximo, isto é, tal que $\forall y\in\omega_1, y\preceq x$. Então $\omega_1 = \{x\}\cup \{y\in\omega_1: y\prec x\}$. No entanto, $\{y\in\omega_1: y\prec x\}$ é finito ou enumerável, de modo que $\omega_1$ será finito ou enumerável. Absurdo!
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  * Chamamos de $0$ o elemento $\min \omega_1$ de $\omega_1$. Note que $0$ existe, pois $\preceq$ é uma boa ordem.
  * Dado $x\in\omega_1$, denotamos por $x+1$ o elemento $\min\{y\in\omega_1: x\prec y\}$ de $\omega_1$. Note que $x+1$ existe, pois $\preceq$ é uma boa ordem e $\omega_1$ não possui elemento máximo. Indutivamente, denotamos por $x+(n+1)$ o elemento $(x+n)+1$ de $\omega_1$, $n\in\mathbb{N}$. Por simplicidade, denotamos $0+n$ por $n$, $n\in\mathbb{N}$.
  * Dado $x\in\omega_1$, dizemos que $x$ é um **ordinal limite** se $x\neq 0$ e não existe $y\in\omega_1$ tal que $x = y+1$. Note que ordinais limites existem, pois, caso contrário, poderiamos provar (exercício para o leitor) por indução que todo elemento de $\omega_1$ pertence ao conjunto $\{0, 1, 2, \dots\}$, que é enumerável, o que é um absurdo!
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A topologia usual de $\omega_1$ é a [[topologia:aincriveltopologiadaordem|induzida pela ordem]] $\preceq$.

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=== Axiomas de separação ===
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t0| Satisfaz $T_0$.]] (Kolmogorov) 
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t1| Satisfaz $T_1$.]] (Fréchet)
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t2| Satisfaz $T_2$.]] (Hausdorff)
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t3| Satisfaz $T_3$ e é regular.]]
  * [[topologia:aincriveltopologiadaordem:t4| Satisfaz $T_4$ e é normal.]]

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=== Axiomas de enumerabilidade ===
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:c1| Possui base local enumerável.]]
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:c2| Não possui base enumerável.]]
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:c3| Não é separável.]]

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=== Propriedades de cobertura ===
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:compacto| Não é compacto.]]
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:localmentecompacto| É localmente compacto.]]
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:sequencialmentecompacto| É sequencialmente compacto.]]
 
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=== Propriedades de conexidade ===
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:conexo| Não é conexo.]]
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:localmenteconexo| Não é localmente conexo.]]
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:conexoporcaminhos| Não é conexo por caminhos.]]
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:localmenteconexoporcaminhos| Não é localmente conexo por caminhos.]]

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=== Propriedades de metrizibilidade ===
  * [[topologia:oprimeiroordinalnaoenumeravel:metrizabilidade| Não é metrizável.]]