===== $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ possui base enumerável =====

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Cada elemento de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é um aberto. Se o espaço for enumerável, podemos tomar a família que contenha todos os seus elementos --- essa família será uma base enumerável.

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Basta que definamos $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ da forma $f(m, n) = 2^n \cdot 3^m$. Essa função é injetora. Assim, seu domínio é enumerável.