=== $X$ não é separável ===

Seja $D$ um conjunto denso em $X$. Seja $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ com $y\in (0,2]$ e $\{(x,y)\}$ o conjunto aberto correspondente. Note que a interseção entre $\{(x,y)\}$ e $D$ é não vazia, logo $(x,y)\in D$. Isso implica que $D$ tem uma quantidade não-enumerável de elementos. Logo $X$ não é separável.