=== $X$ não é localmente conexo ===

Suponha que $X$ seja [[topologia:conexidadelocal|localmente conexo]]. Então $p$ possui uma base local composta apenas por abertos conexos. Essa base contém um aberto $A$ tal que $p\in A$. Pelo que mostramos em [[topologia:exemplo:regncompbases|Bases para \((X,\tau)\)]], sabemos que $\{p\}\cup U_n \subset A$ para algum $n\in \mathbb{N}$. Então existe um ponto $(x,y)$ tal que $0<y\leq 2$ e $(x,y)\in A$. 

Note que $\{(x,y)\}$ é aberto em $A$, e $A\setminus \{(x,y)\}=A\cap (X\setminus {(x,y)})$ é outro aberto em $A$, por um raciocínio análogo ao feito em [[topologia:exemplo:nconxd|$X$ não é conexo]]. Além disso esses conjuntos são disjuntos e $A=\{(x,y)\}\cup A\setminus \{(x,y)\}$, donde $A$ não é conexo, uma contradição.