Para provar que ** o plano de Niemytski é $T_1$ ** precisamos analisar os dois casos a seguir. Em todos eles considere a topologia do espaço de Niemytski.


\\ ** Caso 1 ** 


Sejam $(x,y)$, $(u,v) \in P$, $(x,y) \neq (u,v)$ onde $y>0$ e $v \geq 0$. Defina $\varepsilon :=||(x,y)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana.

Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,y)$ como a seguinte bola aberta usual em $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$ que não intercepta o eixo $x$.


Vamos supor por absurdo que $(u,v) \in B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$. Temos: $||(x,y)-(u,v)||<\frac {\varepsilon}{3} < \varepsilon$. Absurdo, pois $||(x,y)-(u,v)||={\varepsilon}$.

Assim, $(x,y) \in B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$ e $(u,v) \notin B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$.

E com argumento semelhante, concluímos que $(u,v) \in  B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$ e $(x,y) \notin  B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v)$.

\\ Portanto, $P$ é $T_1$.

\\ ** Caso 2 **

Sejam $(x,0)$, $(u,v) \in P$, $(x,0) \neq (u,v)$ onde $v > 0$. Defina $\varepsilon :=||(x,0)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana. 


Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,0)$ como a seguinte bola aberta usual em $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,\frac {\varepsilon}{3})$ unida ao ponto $(x,0)$.



Vamos supor por absurdo que $(u,v) \in (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0))$. Temos: 

$||(x,0)-(u,v)|| = ||(x,0)-(x,\frac {\varepsilon}{3})+(x,\frac {\varepsilon}{3})-(u,v)||\leq ||(x,0)-(x,\frac {\varepsilon}{3})|| +||(u,v)-(x,\frac {\varepsilon}{3})|| \leq \frac {\varepsilon}{3}+\frac {\varepsilon}{3}= \frac {2 \varepsilon}{3} < \varepsilon$. 


Absurdo, pois $||(x,0)-(u,v)||={\varepsilon}$.
Assim, $(x,0) \in (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0))$ e $(u,v) \notin (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0))$.

E com argumento semelhante, concluímos que $(u,0) \in  (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) \cup (u,0))$ e $(x,y) \notin  (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) \cup (u,0))$.

\\ Portanto, $P$ é $T_1$.


\\ ** Caso 3 **

Sejam $(x,0)$, $(u,0) \in P$, $(x,0) \neq (u,0)$. Defina $\varepsilon :=||(x,0)-(u,0)||$, norma provinda da distância euclidiana. 


Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,0)$ como a seguinte bola aberta usual em $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,\frac {\varepsilon}{3})$ unida ao ponto $(x,0)$.



Vamos supor por absurdo que $(u,0) \in (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0))$. Temos: 

$||(x,0)-(u,0)|| = ||(x,0)-(x,\frac {\varepsilon}{3})+(x,\frac {\varepsilon}{3})-(u,0)||\leq ||(x,0)+(x,\frac {\varepsilon}{3})|| +||(u,0)-(x,\frac {\varepsilon}{3})|| \leq \frac {\varepsilon}{3}+\frac {\varepsilon}{3} =\frac {2 \varepsilon}{3} < \varepsilon$. 


Absurdo, pois $||(x,0)-(u,0)||={\varepsilon}$.
Assim, $(x,0) \in (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0))$ e $(u,0) \notin (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y) \cup (x,0))$.

E com argumento semelhante, concluímos que $(u,0) \in  (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) \cup (u,0))$ e $(x,0) \notin  (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (u,v) \cup (u,0))$.

\\ Portanto, $P$ é $T_1$.