Para provar que ** o plano de Niemytski é $T_0$ ** precisamos analisar os dois casos a seguir. Em todos eles considere a topologia do espaço de Niemytski.


\\ ** Caso 1 ** 


Sejam $(x,y)$, $(u,v) \in P$, $(x,y) \neq (u,v)$ onde $y>0$ e $v \geq 0$. Defina $\varepsilon :=||(x,y)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana.

Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,y)$ como a seguinte bola aberta usual em $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$ que não intercepta o eixo $x$.

Vamos supor por absurdo que $(u,v) \in B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,y)$. Temos $||(x,y)-(u,v)||<\frac {\varepsilon}{3}$. Absurdo, pois $||(x,y)-(u,v)||={\varepsilon}$.

Portanto, $P$ é $T_0$.

\\ ** Caso 2 **


Sejam $(x,0)$, $(u,v) \in P$, $(x,0) \neq (u,v)$ onde $v \geq 0$. Defina $\varepsilon :=||(x,0)-(u,v)||$, norma provinda da distância euclidiana. 


Defina também uma vizinhança aberta básica em $(x,0)$ como a seguinte bola aberta usual em $\mathbb{R}^2$, $B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,\frac {\varepsilon}{3})$ unida ao ponto $(x,0)$.

Vamos supor por absurdo que $(u,v) \in (B_{\frac {\varepsilon}{3}} (x,\frac {\varepsilon}{3}) \cup (x,0))$. Temos: $||(x,0)-(u,v)|| \leq \frac {\varepsilon}{3}$. Absurdo, pois $||(x,0)-(u,v)||={\varepsilon}$.

Portanto, $P$ é $T_0$.