** Possui um subespaço discreto fechado de cardinalidade contínuo. **

\\ Vamos mostrar que $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ não enumerável é discreto. Ser espaço discreto é dizer que com a [[topologia:subespaco| topologia do subespaço]] tem a topologia discreta.

\\ Sejam $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$ e $X=B_y(x,y)$. Considere a topologia do subespaço $\pi=\{A \cap X:X \in \tau\}$. 

Temos dois casos:   

  * se $X=B_y(x,y),y \neq 0$, então $A \cap X = \emptyset$;  
  * se $X=B_y(x,y) \cup \{(x,0)\}$, então $A \cap X=\{x\}$. 


\\ Ou seja, $\pi$ é uma topologia discreta de cardinalidade contínuo.