** O plano de Niemytski é regular. **

\\ Esse plano é [[NiemytskiT1| $T_{1}$]], então nos resta mostrar que ele é $T_3$.

\\ Note que o eixo $x$ é fechado em $P$ e seu complemento é a união de todas as $\varepsilon$-bolas em $\{(x,y):y>0\}$.

Sabemos que a topologia induzida no eixo $x$ é a topologia discreta tal que todos os subconjuntos do eixo $x$ são fechados em relação a topologia do subespaço nesse mesmo eixo (veja em [[NiemytskiSubespaçoDiscreto| Possui um subespaço discreto fechado de cardinalidade contínuo]]). Portanto, qualquer subconjunto do eixo $x$ é a intersecção desse com um subconjunto fechado de $P$, então ele é fechado.

Seja $F \subset P$ fechado. Então $P$ \ $F$ é aberto.

\\ Temos dois casos: 

\\ ** (1) ** Seja $(x,y) \in P$ \ $F$, $y>0$. Defina $\varepsilon >0$ como o raio da bola aberta $B_{\varepsilon} (x,y)$ centrada em $(x,y)$ que é uma vizinhança aberta básica de $(x,y)$. Essa bola não intercepta o eixo $x$.

Tome $U=B_{\frac{\varepsilon}{2}} (x,y)$ bola aberta de raio $\frac{\varepsilon}{2}$ e centro $(x,y)$. Então $U \subset B_{\varepsilon} (x,y)$. Tome também $V=\{(u,v)\in P:||(x,y)-(u,v)||> \frac{\varepsilon}{2}\}$ aberto em $P$.

Logo, $(x,y) \in U$ e $F \subset V$, isto é, $P$ é regular.


\\ ** (2) ** Seja $(x,0) \in P$.

Defina $\varepsilon >0$ como o raio da bola aberta $B_{\varepsilon} (x,\varepsilon)$ centrada em $(x,\varepsilon)$. De acordo com a topologia definida, uma vizinhança aberta básica de $(x,0)$ é $B_{\varepsilon} (x,\varepsilon)\cup (x,0)$. 

Seja $B_{\frac{\varepsilon}{2}}' (x,\frac{\varepsilon}{2})$ a bola aberta de raio $\frac{\varepsilon}{2}$ e centro$(x,\frac{\varepsilon}{2})$ que tangencia o eixo $x$ em $(x,0)$. Seja $D$ seu fecho. Se $U=B_{\frac{\varepsilon}{2}}' (x,\frac{\varepsilon}{2}) \cup (x,0)$ e $V=P$ \ $D$, então esses conjuntos são abertos disjuntos.

Logo, $(x,0) \in U$ e $F \subset V$, isto é, $P$ é regular.