** O plano de Niemytski não é normal. **

\\ O plano de Niemytski é [[NiemytskiT1| $T_{1}$]]. Então para não ser normal precisamos apenas mostrar que $P$ não é $T_4$.

\\ Vamos supor que $P$ seja [[topologia:espacoNormal|espaço normal]].

\\ Seja $A=\{(x,0):x \in \mathbb{R}\}$. $A$ é fechado em $P$ e é [[NiemytskiSubespaçoDiscreto| discreto]]. Assim, qualquer subconjunto $F \subset A$ é fechado em $A$ e também fechado em $P$. O complementar de $F$, $A$\ $F$, é fechado em $P$.

\\ Usando a definição de $T_4$, para cada $F \subset A$ existem abertos $B(F)$ e $C(F)$, $B(F) \cap C(F)= \emptyset$ tais que $F \subset B(F)$ e $A$ \ $F \subset C(F)$.

\\ Queremos mostrar que se $F \neq G$, então $B(F) \neq B(G)$.

\\ Sejam $F, G \subset A$ com $F \neq G$. Como $F$ \ $G=F \cap (A$\ $G) \neq \emptyset$, então $B(F) \cap C(G) \neq \emptyset$, mas como $B(G) \cap C(G) = \emptyset$, temos $B(F) \neq B(G)$.

\\ Seja $D$ [[topologia:densos|denso]] enumerável em $P$. Defina $B'(F)=B(F) \cap D$ e $C'(F)=C(F) \cap D$. Como visto acima, se $F \neq  G$, então $B'(F) \neq B'(G)$. Logo obtemos $\phi:\mathcal{P} (A) \rightarrow \mathcal{P} (D)$ dada por $\phi (F)=B'(F)$, uma função injetora. 

\\ Absurdo, pois $A$ tem tamanho contínuo, então $\mathcal{P} (A)$ também tem tamanho contínuo e $\mathcal{P} (D)$  é um conjunto enumerável, isto é, $|\mathcal{P} (A)|>|\mathcal{P} (D)|$. Portanto a função injetora não existe.