=== $X$ não é conexo ===

De fato, considere os conjuntos $A=\{(0,2)\}$ e $X\setminus A$. Note que esses conjuntos são disjuntos e $X=A\cup (X\setminus A)$. Além disso, $A$ é aberto pela definição da topologia $\tau$, e $X\setminus A= \left ( \underset{x\in \mathbb{R}}{\bigcup} A_x\setminus A \right ) \cup \{p\} \cup U_1$ é união de abertos, logo aberto.