=== Não é localmente compacto ===

//Demonstração.// De fato, tomando o fecho de uma vizinhança básica de $0$, note que $\overline{V(0,A,\varepsilon)}$ não é compacto. Suponha sem perda de generalidade que $1\not\in A$, podemos tomar uma sequência de funções $(f_n)\in \overline{V}$ tal que
 
$$f_n(1)=n.$$
Seja $0<\varepsilon_0<\frac12$, tomemos uma cobertura $\{V_n(f_n,A\cup\{1\}, \varepsilon_0)\}$ do conjunto fechado $\{f_n\}$ por abertos básicos que sao dois a dois disjuntos, então $\{V_n(f_n,A\cup\{1\}, \varepsilon_0)\}$ não possui subcobertura finita. Logo $\{f_n\}\subset \overline{V(0,A,\varepsilon)}$ é um fechado que não é compacto, portanto $\overline{V(0,A,\varepsilon)}$ não é compacto. Mais ainda, disso podemos concluir que $\overline{V(0,A,\varepsilon)}\subset C_{p}(X)$ é compacto para algum $A\subseteq X$, se e somente se $A=X,$ ou seja, $X$ é finito. Ou seja $C_{p}(X)$ é localmente compacto, se e somente se $X$ é finito.