===== $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ satisfaz $T_2$ =====

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Sejam $x, y$ sequências naturais distintas entre si. Sabemos que elas possuem (pelo menos) um elemento distinto. Tomemos o primeiro elemento distinto, que está na posição $n$ das sequências: chamemo-los $x_n$ e $y_n$.

Agora, podemos tomar o aberto formado por todas as sequências com $x_n$ na posição $n$. Tomemos, também, o aberto formado por todas as sequências com $y_n$ na posição $n$. Esses abertos são disjuntos. Então, o espaço é de Hausdorff.