===== $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é localmente conexo =====

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Usando o [[topologia:exemplo:n_nhomeor|homeomorfismo com os irracionais]], basta mostrarmos que $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ não é localmente conexo. Para qualquer aberto $A$ em $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, podemos encontrar um racional $r$ tal que $r$ é menor que alguns elementos de $A$ e maior que os outros. Esse racional "divide" o aberto em dois pedaços, pois podemos tomar $]-\infty, r[ \cap A$ e $]r, +\infty[ \cap A$ que cobrem o aberto todo. Cobrimos todo o aberto $A$ com dois abertos não vazios; os irracionais não assumem base local conexa.