===== $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é conexo =====

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Sabemos que $\mathbb{N}$ não é conexo com a topologia discreta. Assim, podemos encontrar um aberto fechado diferente do espaço todo. Seja $A$ esse aberto. Para $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, tomemos $A$ numa das coordenadas (do produto) e todo o $\mathbb{N}$ nas outras. Obtivemos um novo aberto fechado diferente do espaço todo. Portanto, $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ não é conexo.