===A reta de Michael não é localmente compacta===
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Sejam $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$. Vamos mostrar que $[a,b] \subset \mathbb{R}_{M}$ não é compacto. Seja $x \in ]a,b[ \setminus \mathbb{Q}$. E defina a sequência $x_{n} = x - \frac{1}{n}$ e note que cada $x_{n}$ é irracional. Assim existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que, para todo $n \geq n_{0}$, $x_{n} \in [a, x[$. Defina $\mathcal{B} = \{[a,x_{n_{0}}[, ]x,b], \{x\}\} \cup \{]x_{n},x_{n+1}[ : n \geq n_{0}\} \cup \{\{x_{n}\} : n\geq n_{0}\}$. Primeiro note que cada elemento de $\mathcal{B}$ é aberto em $[a,b]$ com a topologia induzida por $\tau_{M}$. Temos também que $\mathcal{B}$ é cobertura para $[a,b]$ por abertos em $[a,b]$. Mas $\mathcal{B}$ não possui subcobertura finita para $[a,b]$, pois seus elementos são dois-a-dois disjuntos.

Seja $x \in \mathbb{Q}$ e suponha que $\mathbb{R}_{M}$ seja localmente compacto. Então existe $\mathcal{V}$, sistema fundamental de vizinhanças compactas para $x$. Sejam $K \in \mathcal{V}$ e $\epsilon > 0$ tal que $]x - \epsilon, x + \epsilon[ \subset K$. Como $K$ é compacto e $\mathbb{R}_{M}$ é de Hausdorff ([[michaelt2|satisfaz $T_{2}$]]), então $K$ é fechado em $\mathbb{R}_{M}$ e portanto $[x - \epsilon, x + \epsilon] \subset K$. Por sua vez $[x - \epsilon, x + \epsilon]$ é fechado em $\mathbb{R}_{M}$, pois seu complementar é aberto, e daí $[x - \epsilon, x + \epsilon]$ seria compacto, o que é uma contradição.

//Obs:// Note que se $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, então $\mathcal{V} = \{\{x\}\}$ é sistema fundamental de vizinhanças compactas para $x$. É claro que $\{x\}$ é vizinhança compacta para $x$ e além disso, dado $A \in \tau_{M}$ tal que $x \in A$, então $\{x\} \subset A$.