===A reta de Michael não é espaço de Lindelöf===
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Seja $\epsilon > 0$. Enumere os racionais da seguinte forma $\mathbb{Q} = \{q_n : n \in \mathbb{N}\}$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, considere $B_{n} = \big]q_n - \frac{\epsilon}{2^{n+1}}, q_n + \frac{\epsilon}{2^{n+1}} \big[$. Note que cada $B_{n}$ é aberto em $\mathbb{R}_{M}$ e portanto $B = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_{n}$ é aberto em $\mathbb{R}_{M}$. Temos então que a medida $\mu(\mathbb{Q}) = 0$. De fato, note que $\mu(\mathbb{Q}) \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(B_{n}) = \sum_{n \in \mathbb{N}}\frac{\epsilon}{2^{n}} = \epsilon$. Como $\mu(\mathbb{R}) > 0$, então temos que ter $\mu(A) > 0$, onde $A = \mathbb{R} \setminus B$ e portanto $A$ é não-enumerável. Temos também que todo ponto $x \in A$ é irracional. Tome $\mathcal{C} = \{\{x\} : x \in A\} \cup \{B\}$. Assim, $\mathcal{C}$ é cobertura aberta não-enumerável de $\mathbb{R}$ e seus elementos são dois-a-dois disjuntos e daí nenhuma subcobertura pode ser enumerável.