Considere um subconjunto $C$ fechado que não contém $(0,1)$. Seja $U$ uma vizinhança aberta de $(0,1)$, e $V \supset A$ um aberto. Então, existe $b>0$ tal que $\{(x,1):0\leq x<b\}\subset U$. Como $(\frac{b}{2},0)\in V$, existe $a<\frac{b}{2}$ tal que $\{(x,0):a<x\leq \frac{b}{2}\} \cup \{(x,1):a<x<\frac{b}{2}\}\subset V$. Dessa forma, $(x,1)\in U\cap V$ para todo $a<x<\frac{b}{2}$.