Vamos mostrar que para cada $n\in \mathbb{N}^*$ tal que $x_n:=( \frac{1}{n}, 1 ) \in A$, existe $t_n\in [0,1-\delta]$ tal que $H(x_n,t_n)\notin V$. 

De fato, tome $\alpha<1/n$. Sabemos que $H(x_n,\cdot)$ é contínua e $H(x_n,1)=x_0$. Então existe $t_i \in [0,1)$ tal que $H(x_n,t)\in B_{\alpha}(x_0)\cap X$ para todo $t\in [t_i,1]$. Defina $I=\{(\frac{1}{n},y): \, \frac{1}{2} < y \leq 1\} $. Note que $t_i$ é cota superior do conjunto $\{t\in [0,1] : \, H(x_n,t)\in I\}$. Então podemos definir $\tilde{t}:= \text{sup} \{t\in [0,1]: \, H(x_n,t)\in I\} \leq t_i <1$.

Afirmo que $H(x_n,\tilde{t})\in \overline{I}^X=\{(\frac{1}{n},y): \, \frac{1}{2} \leq y \leq 1\}$. De fato, para todo $\epsilon >0$, se $B_\epsilon=B_{\epsilon}(H(x_n,\tilde{t}))\cap X$, então existe uma vizinhança $(a,b)$ tal que $\tilde{t}\in (a,b)\subset [0,1]$, e $H(x_n,(a,b))\subset B_{\epsilon}$, mas como $a<\tilde{t}$, existe um ponto $a<\bar{t}<\tilde{t}$ tal que $\bar{t}\in \{t\in [0,1]: \, H(x_n,t)\in I\}$, então $H(x_n,\bar{t})\in I \cap B_{\epsilon}$, e a afirmação está provada.

Seja $B$ uma bola (de $X$) centrada em $H(x_n,\tilde{t})$ e com raio pequeno o bastante para que esteja contida em $\{(\frac{1}{n},y): \, 0\leq y \leq 1\}$. Então qualquer ponto de $B$ ou pertence a $I$ ou não pertence a $V$. Considere o intervalo $(c,d)$ tal que $\tilde{t}\in(c,d) \subset [0,1]$ e $H(x_n,(c,d))\subset B$. Então tome um ponto $t_n$ tal que $\tilde{t}<t_n<d$, e $H(x_n,t_n) \in B$ mas $H(x_n,t_n)\notin I$ pois isso contradiz a definição de $\tilde{t}$. Portanto, $H(x_n,t_n)\notin V$. Como $H(A\times (1-\delta,1] ) \subset V$, é óbvio que $t_n\in [0,1-\delta]$, o que termina de provar a afirmação.