=== O espaço de Hilbert é regular ===

Basta notar que todo espaço regular ($T_4$) é normal ($T_3$).

Seja $T = (S, \tau)$ um espaço normal. Pela definição, temos que é $T_1$ (Fréchet) também.

Seja $F$ qualquer fechado em $T$.

Seja $y \in S-F \doteq C_S(F)$.

Como $T$ é Fréchet, segue que $\{y\}$ é fechado.

E de $T$ ser espaço normal, temos que:
$$
\forall \,\, A, B \in C(\tau), A\cap B = \emptyset \, \colon \, \exists \, U, V \in \tau \, \colon \, A \subseteq U, B \subseteq V, U \cap V = \emptyset.
$$

Isso é, para quaisquer dois fechados disjuntos $A, B \subseteq S$ existem abertos disjuntos $U, V \in \tau$ contendo $A$ e $B$, respectivamente.

Mas, $F$ e $\{y\}$ são conjuntos fechados disjuntos.

Então,

$$
\forall \,\, F \subseteq S \,\colon\, C_S(F) \in \tau, \, y\in C_S(F) \,\colon\, \exists \colon U,V \in \tau \,\colon\, F\subseteq U, \, y\in V \,\colon\, U \cap V = \emptyset
$$

Que é exatamente a definição de um espaço $T_3$.