=== O espaço de Hilbert é Hausdorff ===

Basta mostrar que todo espaço métrico é de Hausdorff, pois o espaço de Hilbert é um espaço métrico pela definição.

Então seja $(X,d)$ um espaço métrico e sejam $x, y \in X$ com $x \neq y$.
Seja $r = d(x,y) > 0$. Mostraremos que $B_{r/2}(x) \cap B_{r/2}(y) = \emptyset$.
Suponhamos que não. Seja $a \in B_{\frac{r}{2}}(x) \cap B_{\frac{r}{2}}(y)$.

Então $d(x,y) \leq d(x,a) + d(a,y) \leq \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r$.

O que é um absurdo, pois $d(x,y) = r$.