=== O espaço de Hilbert é conexo ===

Lembramos que se um espaço vetorial é normado e completo esse é dito de Banach. Notamos que o espaço de Hilbert é um subconjunto mais estrito do espaço de Banach, conforme dito na própria definição.

Então, para mostrar que Hilbert é conexo, podemos mostrar que Banach é conexo.
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Para isso, seja $V$ um espaço de Banach sobre $\mathbb{K}$. Considere $x \in V$ e $A_x = \{ax | \,\, a\in \mathbb{K}\}$.

Queremos mostrar que $A_x$ é conexo $\forall$ $x\in V$.

Tome então uma função $f\colon \mathbb{K} \to A_x$, com $f(a) = ax$. Note que a função é sobrejetora e contínua.

Note também que se $\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}$, $K$ é conexo e sabemos que imagem contínua de conexo é conexo. Logo, $A_x$ é conexo.

Obs1: Usamos aqui que a multiplicação por escalar é contínua, isso vale para qualquer espaço vetorial topológico, em particular para espaços normados.,

Obs2: Daqui temos quase que diretamente a construção para mostrar que Banach é conexo por caminhos também. Dado $v \in V$, então temos um caminho que vai de 0 a $v$ dado por $[0,1] \to V$, $a \mapsto av$.