=== Não é primeiro contável, logo não é segundo contável ===

//Demonstração.// Suponhamos que a topologia de convergência pontual seja primeiro contável, então a função nula tem uma base de vizinhanças contável. Ou seja, temos uma família enumerável de vizinhanças abertas $V_i(0,A_i,\varepsilon)$ de $0$ de modo que qualquer vizinhança aberta de $0$ contém algum $V_i$. Agora defina outra vizinhança $V(0,A,\varepsilon)$ de $0$, de maneira que $A\not\in \{A_i\}$ (de fato isso é possível já que estamos supondo $\{A_i\}$ enumerável, mas a quantidade de subconjuntos finitos de $[0,1]$ é claramente não-enumerável), e $\varepsilon>0$ qualquer. Como $X$ é completamente regular, temos para todo $i$ que há algum $f\in C([0,1])$ de tal modo que $f\in V_i$ mas $f\not\in V$, logo $V$ não contém nenhum $V_i$, absurdo! Logo $C_{p}([0,1])$ não é primeiro contável. 
Segue portanto que $C_{p}([0,1])$ também não é segundo contável e nem metrizável. $~~~~~~~~\square$