Seja $\mathcal{A} \subset \tau$, uma cobertura aberta qualquer de $X$, isto é, $\cup_{A \in \mathcal{A}} A = X$. Como $\infty \in X$, existe algum aberto $A_0 \in \mathcal{A}$ tal que $\infty \in A_0$. Assim, existe apenas uma quantidade finita de elementos de $\mathbb{N}$ que não estão em $A_0$, vamos denotar esses elemntos por $\{x_1, x_2, \cdots, x_n \}$. Além disso, para cada $i= 1 , \cdots, n$, existe $A_i \in \mathcal{A}$ tal que $x_i \in A_i$. Portanto, $A_0 \cup A_1 \cup \cdots \cup A_n = X$, ou seja, $\mathcal{A}' = \{A_0, A_1, \cdots, A_n \}$ é uma subcobertura finita.