===== $\mathbb{R}^n$ com a topologia usual =====


**Definição.** A **topologia usual de $\mathbb{R}^n$** é a [[topologia:produtofinito| topologia produto]] de $n$ cópias de [[topologia:exemplo:retausual| $\mathbb{R}$ com a topologia usual]]. Ou seja, é a topologia gerada pelos conjuntos da forma $E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$, onde cada $E_j$ é uma aberto em $\mathbb{R}$, para $j=1,...,n$. 

No que segue, veremos que esta topologia é induzida por uma métrica em $\mathbb{R}^n$. Para tanto, consideremos $d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to [0, \infty) $ dada por: 
$$d((x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n))= \max \lbrace |x_1-y_1|,|x_2-y_2|,...,|x_n-y_n| \rbrace. $$

Então, [[topologia:exemplo:rnmetrizavel|$d$ é uma métrica cuja topologia induzida é a topologia usual de $\mathbb{R}^n$]]. Além disso, esta métrica é induzida pela norma $|(x_1,x_2,...,x_n)|= \max \lbrace | x_1|,...,|x_n| \rbrace$. Ou seja, $\mathbb{R}^n$ é um espaço vetorial normado, de dimensão $n$. 

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=== Axiomas de separação ===
  * [[ex:rn:t0| Satisfaz $T_0$.]] (Kolmogorov) 
  * [[ex:rn:t1| Satisfaz $T_1$.]] (Fréchet)
  * [[ex:rn:t2| Satisfaz $T_2$.]] (Hausdorff)
  * [[ex:rn:t3| Satisfaz $T_3$ e é regular.]]
  * [[ex:rn:Tych| Satisfaz $T_{3\frac{1}{2}}$ e é completamente regular.]] (Tychonoff)
  * [[ex:rn:t4| Satisfaz $T_4$ e é normal.]]

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=== Axiomas de enumerabilidade ===
  * [[ex:rn:bslocalenumeravel| Possui bases locais enumeráveis.]]
  * [[ex:rn:bsenumeravel| Possui base enumerável.]]
  * [[ex:rn:separavel| É separável.]]

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=== Propriedades de cobertura ===
  * [[ex:rn:compacto| Não é compacto.]]
  * [[ex:rn:loccompacto| É localmente compacto.]]
  * [[ex:rn:seqcompacto| Não é sequencialmente compacto.]]
  * [[ex:rn:totlimitado| Não é totalmente limitado.]]
 
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=== Propriedades de conexidade ===
  * [[ex:rn:conexidade| É conexo.]]
  * [[ex:rn:localconexidade| É localmente conexo.]]
  * [[ex:rn:conexidadecaminhos| É conexo por caminhos.]]
  * [[ex:rn:localconexidadecaminhos| É localmente conexo por caminhos.]]


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=== Outras propriedades ===  
  * [[topologia:exemplo:rnmetrizavel| É metrizável.]]
  * [[topologia:compactosRn| Caracterização para os compactos em $\mathbb{R}^n$.]]
  * [[ex:rn:completo| $\mathbb{R}^n$ é um espaço métrico completo.]]
  * [[ex:rn:homeo| $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^n \; (n>1)$ não são homeomorfos. ]]
  * [[ex:rn:contratio| É contrátil.]]
  * [[ex:rn:baire| É de Baire. ]]
  *[[dem:teometricasequiv| Todas as normas sobre $\mathbb{R}^n$ são equivalentes.]]