Seja $ x \in \{0,1\} $, então $ \{x\} $ é aberto e fechado em $ \{0,1\} $. Pela continuidade das projeções, segue que $ p_{n}^{-1}[\{x\}] $ é aberto e fechado em $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $. Segue que todo aberto básico, como na definição da topologia produto, é aberto e fechado. Como a coleção de todos esses conjuntos é uma base, segue que $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ é zero dimensional.