Seja $ D \subset \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ o conjunto de todas as sequências eventualmente constantes, então $ D $ é enumerável. Provamos que $ D $ é um denso.   

Seja $ V \subset \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ um aberto básico, como na definição da topologia produto, então existem $ n_{1}, \cdots, n_{k} \in \mathbb{N} $ distintos e $ b_{1}, \cdots, b_{k} \in \{0,1\} $ tais que

$$
V = p_{n_{1}}^{-1}[\{b_{1}\}] \cap \cdots \cap p_{n_{k}}^{-1}[\{b_{k}\}].
$$

Agora, defina a sequência $ (a_{m}) $ dada por

$$
a_{m} =
    \begin{cases}
b_{i}, \qquad \text{ se } m = n_{i} \\
0, \qquad \text{ caso contrário }
    \end{cases}
$$

É fácil ver que $ (a_{m}) \in D \cap V $. Portanto, $ D $ é denso em $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $.