Tome $ x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}} $, então para cada $ n \in \mathbb{N} $ defina

$$
B_{n} = \bigcap_{k=0}^{n} p_{k}^{-1}[\{x_{k}\}].
$$

Provamos que o conjunto $ \mathcal{B} = \{B_{n}\} $ é uma base local de $ x $. 

Por construção, cada $ B_{n} $ é aberto e contem $ x $. Seja $ V \subset \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ um aberto básico, como na definição da topologia produto, que contenha $ x $, então existem $ n_{1}, \cdots, n_{k} \in \mathbb{N} $ distintos e $ b_{1}, \cdots, b_{k} \in \{0,1\} $ tais que

$$
V = p_{n_{1}}^{-1}[\{b_{1}\}] \cap \cdots \cap p_{n_{k}}^{-1}[\{b_{k}\}].
$$

Uma vez que $ x \in V $, devemos ter $ x_{n_{i}} = b_{i} $ para todo $ i $. Seja $ n = \max\{n_{1}, \cdots, n_{k}\} $, então temos

$$
x \in B_{n} \subset V,
$$

por construção.