Suponha que $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ seja localmente conexo por caminhos. Então para todo $ x \in \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ existe uma base local $ \mathcal{B} $ de conjuntos abertos e conexos por caminhos. Mas conexidade por caminhos implica em conexidade, logo todo conjunto $ B \in \mathcal{B} $ é conexo. Segue que existe uma base local de conexos para todo ponto, ou seja, $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ é localmente conexo. Mas isso é uma [[topologia:exemplo:espacodecantor:localmenteconexo|contradição]].

Segue que $ \{0,1\}^{\mathbb{N}} $ não é localmente conexo por caminhos.