** O plano de Niemytski é contrátil. **

\\ Em $\mathbb{R}^2$, considere $f,g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ dadas por $f(a)=a$ e $g(a)=0$ com $a=(x,y)$.

\\ Temos dois casos a considerar.

\\ (1) $y>0$.  

Considere $H:\mathbb{R}^2 \times [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^2$ definida como $H(a,t)=(1-t)a$. $H$ é continua e $H(a,0)=x$ e $H(a,1)=0$, para todo $a \in \mathbb{R}^2$. Então $H$ é uma homotopia entre $f$ e $g$ e $\mathbb{R}^2$ com a topologia usual é contrátil. Como a topologia induzida sobre $P_1$ por $P$ e $\mathbb{R}^2$ é a mesma, temos que $P_1$ é contrátil.

\\ (2) $y=0$

Neste caso, temos $a=(x,0)$, isto é, o eixo $x$. Assim, considere $H:\mathbb{R}^2 \times [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^2$ definida como $H(x,t)=(1-t)x$. $H$ é continua e $H(x,0)=x$ e $H(x,1)=0$, para todo $x \in \mathbb{R}$. Então $H$ é uma homotopia entre $f$ e $g$ e $\mathbb{R}$ com a topologia usual é contrátil. Logo, $P_2$ é contrátil.

\\ Portanto, $P$ é contrátil.

\\ Ver também:

* [[topologia:basicresults| Definição e resultados básicos]]