===$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{1}$===
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Demonstração. Em geral, [[topologia:propriedadesbasicasproduto| o produto arbitrario de espaços $T_1$ é $T_1$]]. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_1$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_1$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ is $T_1$ já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}.$