===$C_p(\mathbb{R})$ é separável===
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Demonstração. Seja $\mathcal{B} = \{\{O_1, ..., O_n\}: n \in \mathbb{N}, O_i = (a_i, b_i)$ é um intervalo aberto racional para todos os $i\leq n$ e
$[a_i, b_i] \cap [a_j, b_j] = \varnothing$, se $i \neq j\}$. Dado $n \in \mathbb{N}, \{O_1, ..., O_n \}=:O^n\in \mathcal{B}, (q_1, ..., q_n)=:q^n$ (um $n$-tupla de números racionais), fixe $f_{O^n, q^n} \in C_p(\mathbb{R})$ de modo que $f_{O^n, q^n}(O_i) = \{q_i\}$ para todos os $i\leq n$, que é possível basicamente porque $\mathbb{R}$ é Tychonoff. Notar que o conjunto $A = \{f_{O^n, q^n}: O^n \in \mathcal{B}$, $q^n$ é uma n-tupla de racionais, e $n\in \mathbb{N}\}$ é enumerável. Vamos provar que $\overline{A} = C_p(\mathbb{R})$. Dado um conjunto aberto padrão $W = [x_1, ... x_{n_0}; U_1, ..., U_{n_0}]$, escolha $q_i \in U_i \cap \mathbb{Q}$ para todos $i \leq n_0$ e defina $q = (q_1, ..., q_{n_0})$. Logo, existe $\mathcal{O} = \{O_1, ..., O_{n_0}\} \in \mathcal{B}$ tal que $x_i \in O_i$ para quaisquer $i\leq n_0$ (note que não estamos perdendo generalidade assumindo que $\{x_1, ..., x_{n_0}\}$ são números reais distintos). Então existe $f_{\mathcal{O}, q} \in W \cap A$ (i.e., $W\cap A$ não é vazio). Portanto, $\overline{A} = C_p (\mathbb{R})$.