===$C_p(\mathbb{R})$ satisfaz $T_{3}$ e é regular===
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Demonstração. Em geral, [[topologia:propriedadesbasicasproduto| o produto arbitrario de espaços $T_3$ é $T_3$]]. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_3$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_3$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é $T_3$ e regular já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R},$ e [[cp_r_t1| $C_p(\mathbb{R})$ é $T_1$]].