===$C_p(\mathbb{R})$ não é metrizável===
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Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ é metrizável. Como [[topologia:exemplo:cp_r_separavel| $C_p(\mathbb{R})$ é separável]], então é //2nd countable// (pois [[topologia:dem:demomarciapropems| todo espaço métrico separável satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade]]), o que é uma contradição com o fato de que [[topologia:exemplo:cp_r_baseenum| $C_p(\mathbb{R})$ não tem base enumerável]].